Herleitung der Volumenformel mit Hilfe der Integralrechnung

Radius im Abstand x.

Kreisfläche im Abstand x.

Volumen der Kugel V.

Auf die gleiche Weise kann man das Volumen eines Kugelsegments V_KS der Höhe h berechnen.

Kugelfläche und Kugelkörper

Der feste Punkt wird als Mittelpunkt oder Zentrum der Kugel bezeichnet, die Zahl r als Radius der Kugel. Sie ist eine Rotationsfläche sowie eine spezielle Fläche zweiter Ordnung und wird beschrieben als die Menge (der geometrische Ort) aller Punkte im dreidimensionalen euklidischen Raum, deren Abstand von einem festen Punkt des Raumes gleich einer gegebenen positiven reellen Zahl r ist.Die Kugelfläche ist die bei der Drehung einer Kreislinie um einen Kreisdurchmesser entstehende Fläche.

Die Kugelfläche wird auch Kugeloberfläche oder Sphäre genannt. Diese Menge heißt das Innere der Kugel.Die Kugelfläche teilt den Raum in zwei getrennte offene Untermengen, von denen genau eine konvex ist. Die Vereinigungsmenge einer Kugelfläche und ihres Inneren heißt Kugelkörper.

Sowohl Kugelfläche als auch Kugelkörper werden oft kurz als Kugel bezeichnet, wobei aus dem Zusammenhang klar sein muß, welcher der beiden Begriffe gemeint ist.

Eine Kugelfläche mit Mittelpunkt (x₀, y₀, z₀) und Radius r ist die Menge aller Punkte (x,y,z), für die.

(x − x₀)² + (y − y₀)² + (z − z₀)² = r²

erfüllt ist.

Die Punkte auf der Kugelfläche mit dem Radius r und dem Zentrum im Ursprung können wie folgt parametrisiert werden:.

.

Siehe auch: Trigonometrische Funktionen, sphärische Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten).